Ingeniería de software y computación
2023-08-01
Doctor en Ciencias de la Electrónica. Magíster en Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones Ingeniero en Electrónica y Telecomunicaciones
Biomecánica, Dispositivos para el análisis de movimiento humano, ciencia de los datos.
Profesor de la Facultad de Ingeniería
Invest. Línea de Percep. Avanz. y Robótica – GITA
Director Grupo de Investigación MEDES.
Director del laboratorio de datos de la Uniautonoma.
pablo.caicedo.r@uniautonoma.edu.co

Lunes, Martes, Miércoles y Jueves 9:00 – 11:00 Sala 504
Interpretes: Python, R, Latex(TEXLive), Anaconda.
IDE: Visual Studio Code, Google Colaboratory (R, Python)
Librerías Numpy.
Seguimiento de Aprendizaje: Moodle
Las cantidades que se trabajan en la ingeniería tienen dos orígenes diferentes:
Primer Origen
Un proceso de medición nunca arroja el valor verdadero de la medida, pues las mediciones se hacen con instrumentos que se encuentran limitados
Segundo Origen
Las operaciones aritméticas usualmente se ejecutan en un computador o una calculadora, y la limitación de espacio de estos dispositivos lleva a que algunas cifras no se puedan representar correctamente.
Importante
Los errores debido a estos orígenes es de naturaleza acumulativa, por ejemplo si se operan medidas reales con un procesador limitado la incertidumbre aumentará.
Importante
Muchas veces resulta imposible siquiera expresar en términos algebraicos soluciones a ciertas ecuaciones, inclusive polinomiales.
Siempre…
Con lo anterior, es claro que el trabajo de ingeniería y ciencias se encuentra inevitablemente sujeto a error, y por tanto el tema de cuantificación de errores es de atención prioritaria en dichas áreas.
\[\varepsilon = \left| x - \bar{x} \right|\]
\[\varepsilon_{\gamma} = \frac{\left| x - \bar{x} \right|}{\left| x \right|}\]
\[\varepsilon_{ap} = {\left| x_{actual} - x_{anterior} \right|}\]
Considere…
Una región rectangular que tiene 20.5 cm de largo por 14.3 cm de ancho. Se requiere la medida del área de la región en centímetros cuadrados.
Diferentes personas reportarían sin dudar los primeros dos dígitos, a saber el dos y el cero, que en este contexto se llamarán dígitos confiables.
Se entenderá que esta medida en realidad es una cifra entre 20.5 cm y 20.6 cm con el tercer dígito llamado dígito de incertidumbre.
La cantidad de dígitos confiables más otro con incertidumbre, son las cifras significativas de una medición.
¿Que pasa con las operaciones?
Cuando se operen números con cifras significativas, el resultado tendrá tantas cifras significativas como el factor con menos cifras significativas.
Hablando de errores
Con el número de cifras significativas \(\left(n\right)\), se puede calcular la cota del error absoluto:
\[\varepsilon = \left( 0.5\times10^{2-n} \right) \%\]
\[\left(-1\right)^{s}2^{c-1023}\left(1+f\right)\]
Dos numeros “diferentes”
El bit más izquierdo en ambos casos es “0”, por lo tanto en los dos casos los numéros son positivos.
Dos numeros “diferentes”
En el ambos casos el exponente es 10000000011 por lo tanto el valor c se calcula así:
\[ c = 1 \cdot 2^{10} + 0 \cdot 2^{9} + \dots +1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 1024+2+1=1027\]
Dos numeros “diferentes”
La mantisa para el primer caso es:
\[1011100100010000000000000000000000000000000000000000\] \[ f = 1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} +1 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-8} + 1 \cdot 2^{-12} \] \[ f = 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.000244140625\] \[ f= 0.7229003906250000000000\]
Dos numeros “diferentes”
La mantisa para el segundo caso es:
\[1011100100010000000000000000000000000000000000000001\] \[ f = 1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} +1 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-8} + 1 \cdot 2^{-12} + 1 \cdot 2^{-52}\] \[ f = 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.000244140625 + 2,220476049250313e-16\] \[f = 0.7229003906250002220446\]
Importante
Importante
Dentro de los números reales \(\left( \mathbb{R} \right)\), existen dos conjuntos de números claramente diferenciables, los racionales \(\left( \mathbb{Q} \right)\) y los irracionales \(\left( \mathbb{I} \right)\). Los primeros son facilmente representables en un sistema computacional; sin embargo los segundo debido a que no pueden ser representados con un número finito de digitos deben ser cortados a unas cuantas cifras.
Nota
Sin embargo, hay formas metódicas de obtener aproximaciones tan buenas como se quieran a estos números. Como por ejemplo las conocidas series de Taylor
\[f\left( x \right) = f\left( c \right) + \dot{f}\left( c \right)\left( x-c \right) + \frac{\ddot{f}\left( c \right)}{2!}\left( x-c \right)^2 + \frac{\dddot{f}\left( c \right)}{3!}\left( x-c \right)^3 + \dots + \frac{f^{\left(n\right)}\left( c \right)}{n!}\left( x-c \right)^n\]
Forma de Langrange
\[R_n\left( x \right) = \frac{f^{\left( n+1 \right)}\left( \xi \right)}{\left( n+1 \right)!}\left( x-c \right)^{n+1}\]
Forma Integral
\[R_n\left( x \right) = \int_{c}^{x}{\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(t\right)}{n!}\left(x-t\right)^{n}dt}\]
Recordemos
\[f\left( x \right) = f\left( c \right) + \dot{f}\left( c \right)\left( x-c \right) + \frac{\ddot{f}\left( c \right)}{2!}\left( x-c \right)^2 + \frac{\dddot{f}\left( c \right)}{3!}\left( x-c \right)^3 + \dots + \frac{f^{\left(n\right)}\left( c \right)}{n!}\left( x-c \right)^n\]
Calcular ln(1.1), centrado en c=1, y orden 4
\[f\left(x\right)=ln\left(x\right)\]
\[\dot{f}\left(x\right) = \frac{1}{x}\]
\[\ddot{f}\left(x\right) = -\frac{1}{x^2}\]
\[\dddot{f}\left(x\right) = \frac{2}{x^3}\]
\[\ddddot{f}\left(x\right) = -\frac{6}{x^4}\]
Calcular ln(1.1), centrado en c=1, y orden 4
\[f\left(1.1\right)=ln\left(1\right)+\frac{1}{1.1}\left(1.1 - 1\right)-\frac{1}{2\cdot 1.1^2}\left(1.1-1\right)^2+\frac{2}{6\cdot 1.1^3}\left(1.1 - 1\right)^3 - \frac{6}{24\cdot 1.1^4}\left(1.1 - 1\right)^4\]
Recordemos
\[R_n\left( x \right) = \frac{f^{\left( n+1 \right)}\left( \xi \right)}{\left( n+1 \right)!}\left( x-c \right)^{n+1}\]
Error en forma de lagrange
\[R_4\left(1.1\right) = \frac{24\xi^{-5}}{5!}\left(1.1 - 1\right)^{5}\]
Calcular ln(1.1), centrado en c=1, y orden 4
\[f\left(1.1\right)=ln\left(1\right)+\frac{1}{1}\left(1.1 - 1\right)-\frac{1}{2\cdot 1^2}\left(1.1-1\right)^2+\frac{2}{6\cdot 1^3}\left(1.1 - 1\right)^3 - \frac{6}{24\cdot 1^4}\left(1.1 - 1\right)^4\]
Supongamos…
\[x=\frac{5}{7}\] \[y = \frac{1}{3}\]
Calcular x+y utilizando aritmética de digitos finitos, utilizando 6 cifras significativas, considerando:
Calcular el error para todos los casos anteriores
\[x+y=0.104762\times10^{1}\]
\[x+y=0.104761\times10^{1}\]
Definicón
Las raíces o ceros de una función \(f\) son aquellos valores \(c\) tal que: \(f\left(c\right)=0\)
Ejemplo 1
La raiz de la función \(f\left(x\right) = 3x-4\) es \(x=\frac{4}{3}\)
Ejemplo 2
Los ceros de la función \(f\left(x\right) = x^2 -x -6\) son \(x=3\) y \(x=-2\)
Definicón
Las raíces o ceros de una función \(f\) son aquellos valores \(c\) tal que: \(f\left(c\right)=0\)
Definicón
Las raíces o ceros de una función \(f\) son aquellos valores \(c\) tal que: \(f\left(c\right)=0\)
Ejemplo 1
La raiz de la función \(f\left(x\right) = 3x-4\) es \(x=\frac{4}{3}\)
Definicón
Las raíces o ceros de una función \(f\) son aquellos valores \(c\) tal que: \(f\left(c\right)=0\)
Definicón
Las raíces o ceros de una función \(f\) son aquellos valores \(c\) tal que: \(f\left(c\right)=0\)
Ejemplo 2
Los ceros de la función \(f\left(x\right) = x^2 -x -6\) son \(x=3\) y \(x=-2\)
En muchas ecuaciones en ciencias e ingeniería, en las cuales no es posible aplicar un procedimiento para despejar la incógnita.
$f(x) = x - \(cos\left(x\right)\)
\(f\left(x\right) = e^{-x} - sin\left(x\right)\)
\(f\left(x\right) = x - tan\left(x\right)\)
\(f\left(x\right) = e^{x} - x\)
A menudo, el crecimiento de una población se puede modelar sobre periodos breves al asumir que aumenta de manera continua con el tiempo a una tasa proporcional al número actual en ese momento. Suponga que \(N\left(t\right)\) denota el número en la población en el tiempo t y λ denota la tasa constante de natalidad. Entonces, dicha población satisface la ecuación diferencial:
\[\frac{d N\left(t\right)}{dt}=\lambda N\left(t\right)\]
Cuya solución es \(N\left(t\right)=N_0 e^{\lambda t}\)
A menudo, el crecimiento de una población se puede modelar sobre periodos breves al asumir que aumenta de manera continua con el tiempo a una tasa proporcional al número actual en ese momento. Suponga que \(N\left(t\right)\) denota el número en la población en el tiempo t y λ denota la tasa constante de natalidad. Entonces, dicha población satisface la ecuación diferencial:
\[\frac{d N\left(t\right)}{dt}=\lambda N\left(t\right)\]
Cuya solución es \(N\left(t\right)=N_0 e^{\lambda t}\)
Suponga que….
Suponga que, en un inicio, cierta población contiene \(N\left(0\right)=1000000\) individuos, que \(\upsilon=435000\) individuos inmigran a la comunidad durante el primer año y que existen N(1)=1564000 al finalizar el año. SI deseamos determinar el la tasa de natalidad \(\lambda\) se requiere encontrar las raíces de
\[1564000 = 1000000e^{\lambda} + \frac{435000}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\]
Suponga que….
Suponga que, en un inicio, cierta población contiene \(N\left(0\right)=1000000\) individuos, que \(\upsilon=435000\) individuos inmigran a la comunidad durante el primer año y que existen N(1)=1564000 al finalizar el año. SI deseamos determinar el la tasa de natalidad \(\lambda\) se requiere encontrar las raíces de
\[1564000 = 1000000e^{\lambda} + \frac{435000}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\]
Pregunta 1/2
Dada la función \(f\left(x\right) = 8 sin\left(x\right) e^{-x} - 1\) responda las siguientes cuestiones:
Si se sabe que \(x \in \left[0,3\right]\), encuentre una raíz de la función. ¿Es utilizable el método de la bisección en el cálculo de la raíz?
Aplique Newton-Raphson para dos posibles valores iniciales: -5, 10. Cual es el resultado de la operación. Explique su resultado.
Pregunta 2/2
La velocidad de un para caídista esta dada por la siguiente función:
\[v=\frac{gm}{c}\left(1 - e^{-\frac{c}{m}t}\right)\]
Sea la gravedad \(g=9.8\), el coeficiente de rozamiento \(c=14Kg/s\), responda:
Cuál es el peso del paracaidista si se sabe que a los 7sg la velocidad de este era de \(35m/s\) ?
Utilizando una calculadora de gravedad, determine la gravedad real, si el experimento se hace en la ciudad de Popayán, vuelva a determinar la masa del paracaidista. Explique la discrepancia.